试题

如图．在平行四边形ABCD中，O为对角线的交点，点E为线段BC延长线上的一点，且CE=

1

2

BC．过点E作EF∥CA，交CD于点F，连接OF．
（1）求证：OF∥BC；
（2）如果梯形OBEF是等腰梯形，判断四边形ABCD的形状，并给出证明．

（1）证明：延长EF交AD于G（如图），
在平行四边形ABCD中，AD∥BC，AD=BC，
∵EF∥CA，EG∥CA，
∴四边形ACEG是平行四边形，
∴AG=CE，
又∵CE=

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2

BC，AD=BC，
∴AG=CE=

1

2

BC=

1

2

AD=GD，
∵AD∥BC，
∴∠ADC=∠ECF，
在△CEF和△DGF中，
∵∠CFE=∠DFG，∠ADC=∠ECF，CE=DG，
∴△CEF≌△DGF（AAS），
∴CF=DF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，
∴OF∥BC．

（2）解：如果梯形OBEF是等腰梯形，那么四边形ABCD是矩形．
证明：∵OF∥CE，EF∥CO，
∴四边形OCEF是平行四边形，
∴EF=OC，
又∵梯形OBEF是等腰梯形，
∴BO=EF，
∴OB=OC，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC=2OC，BD=2BO．
∴AC=BD，
∴平行四边形ABCD是矩形．
（1）证明：延长EF交AD于G（如图），
在平行四边形ABCD中，AD∥BC，AD=BC，
∵EF∥CA，EG∥CA，
∴四边形ACEG是平行四边形，
∴AG=CE，
又∵CE=

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BC，AD=BC，
∴AG=CE=

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BC=

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AD=GD，
∵AD∥BC，
∴∠ADC=∠ECF，
在△CEF和△DGF中，
∵∠CFE=∠DFG，∠ADC=∠ECF，CE=DG，
∴△CEF≌△DGF（AAS），
∴CF=DF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，
∴OF∥BC．

（2）解：如果梯形OBEF是等腰梯形，那么四边形ABCD是矩形．
证明：∵OF∥CE，EF∥CO，
∴四边形OCEF是平行四边形，
∴EF=OC，
又∵梯形OBEF是等腰梯形，
∴BO=EF，
∴OB=OC，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC=2OC，BD=2BO．
∴AC=BD，
∴平行四边形ABCD是矩形．