试题

如图，E是正方形ABCD内一点，∠AEB=90°，AE=2BE，点G是AE的中点．点F是正方形ABCD外一点，FB⊥BE于点B，FB=BE，连接CF、CE、CG、CA．
（1）若AG=1，求AC的长．
（2）求证：∠ACG+∠CAE=∠CBE．

（1）解：∵∠AEB=90°，AE=2BE，点G是AE的中点，AG=1，
∴AE=2，BE=1，
∴AB=

22+12

=

5

，
∴AB=BC=

5

，
∴AC=

AB2+BC2

=

( 5 )2+( 5 )2

=

10

；

（2）证明：延长AE交CF于点M，
∵FB⊥BE，
∴∠EBC+∠CBF=90°，
∵∠ABE+∠EBC=90°，
∴∠ABE=∠FBC，
在△ABE和△CBF中

BA=BC ∠ABE=∠CBF BE=BF

，
∴△ABE≌△CBF（SAS），
∴∠AEB=∠F=90°，
∵∠FBE=∠BEM=90°，
∴四边形EMFB是矩形，
∵BE=BF，
∴矩形EMFB是正方形，
则BE=EM=MF=FB，
∴CM=CF-FM=AE-BE=BE，
∴∠MCE=∠MEC=45°，
∴∠CEB=∠CEG=135°，
在△CEG和△CBG中，

EG=BE ∠CEG=∠CEB EC=EC

，
∴△CEG≌△CBG（SAS），
∴∠CBE=∠CGE，
∵∠ACG+∠CAE=∠CGE，
∴∠ACG+∠CAE=∠CBE．
（1）解：∵∠AEB=90°，AE=2BE，点G是AE的中点，AG=1，
∴AE=2，BE=1，
∴AB=

22+12

=

5

，
∴AB=BC=

5

，
∴AC=

AB2+BC2

=

( 5 )2+( 5 )2

=

10

；

（2）证明：延长AE交CF于点M，
∵FB⊥BE，
∴∠EBC+∠CBF=90°，
∵∠ABE+∠EBC=90°，
∴∠ABE=∠FBC，
在△ABE和△CBF中

BA=BC ∠ABE=∠CBF BE=BF

，
∴△ABE≌△CBF（SAS），
∴∠AEB=∠F=90°，
∵∠FBE=∠BEM=90°，
∴四边形EMFB是矩形，
∵BE=BF，
∴矩形EMFB是正方形，
则BE=EM=MF=FB，
∴CM=CF-FM=AE-BE=BE，
∴∠MCE=∠MEC=45°，
∴∠CEB=∠CEG=135°，
在△CEG和△CBG中，

EG=BE ∠CEG=∠CEB EC=EC

，
∴△CEG≌△CBG（SAS），
∴∠CBE=∠CGE，
∵∠ACG+∠CAE=∠CGE，
∴∠ACG+∠CAE=∠CBE．