试题

正方形ABCD中，点P是CD上一动点，连接AP，分别过B、D两点作BE⊥AP，DF⊥AP，垂足为E、F，如图①
（1）请你通过观察或测量BE、DF、EF的长度，然后猜想它们之间的数量关系．若点P在DC的延长线上，如图②，这三条线段长度之间又具有什么样的数量关系？若P在DC的反向延长线上，如图③，这三条线段长度之间又具有什么样的数量关系；请分别直接写出结论．

（2）请在（1）中的三个结论中任意选择一个加以证明．

解：
（1）①BE=DF+EF；
②BE=DF-EF；
③BE=EF-DF；

（2）图①证明如下，
证明：∵BE⊥AP，DF⊥AP，
∴∠BEA+∠AFD=90°，
∵∠ABE+∠BAE=90°，
∠DAF+∠BAE=90°，
∴∠ABE=∠DAF，在正方形ABCD中，AB=AD，
∴△ABE≌△DAF（AAS），
∴DF=AE，BE=AF，
∴BE=DF+EF．
图②③同图①．
解：
（1）①BE=DF+EF；
②BE=DF-EF；
③BE=EF-DF；

（2）图①证明如下，
证明：∵BE⊥AP，DF⊥AP，
∴∠BEA+∠AFD=90°，
∵∠ABE+∠BAE=90°，
∠DAF+∠BAE=90°，
∴∠ABE=∠DAF，在正方形ABCD中，AB=AD，
∴△ABE≌△DAF（AAS），
∴DF=AE，BE=AF，
∴BE=DF+EF．
图②③同图①．