试题

如图1，在正方形ABCD中，若点E是△DBC内的一点，且DE=DC，BE=CE．
（1）连接AE．说明△ABE≌△DCE的理由；
（2）求∠BDE与∠CDE度数的比值；
（3）拓展探索：若只将题中的条件“正方形ABCD”换成条件“梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，2∠DBC=∠DCB”．如图2，研究∠BDE与∠CDE度数的比值是否与（2）中的结论相同，写出你的研究结果并说明理由．

（1）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=DC，∠ABC=∠DCB；
又∵BE=CE，
∴∠EBC=∠ECB（等腰对等角），
∴∠ABE=∠DCE；
∴△ABE≌△DCE；

（2）解：∵BE=CE，
∴点E在边BC的中线上，
∴AE=DE；
又∵DE=DC，AD=DC，
∴AE=DE=AD，
∴∠ADE=60°；
∵∠ADB=45°，∠BDE=∠ADE-∠ADB，
∴∠BDE=15°；
∵∠CDE=∠CDB-∠BDE，∠CDB=45°，
∴∠CDE=30°；
∴∠BDE：∠CDE=1：2；

（3）相同．
证明：连接AE．
∵AD∥BC，
∴∠DBC=∠ADB（两直线平行，内错角相等），
∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴∠ABC=∠BCD；
又∵2∠DBC=∠DCB，
∴∠ABD=∠DBC；
∴∠ADB=∠ABD，
∴AB=AD；
∵DE=DC，AB=DC，又由（2）知，AE=ED，
∴AE=ED=AD，
∴三角形AED是等边三角形；
∴∠ADE=60°；
∵∠ADB=30°，∠BDE=∠ADE-∠ADB，
∴∠BDE=30°，∠DBC=30°，
∵2∠DBC=∠DCB，
∴∠DCB=60°；
∴∠CDB=90°，
∵∠CDE=∠CDB-∠BDE，
∴∠CDE=60°；
∴∠BDE：∠CDE=1：2．
（1）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=DC，∠ABC=∠DCB；
又∵BE=CE，
∴∠EBC=∠ECB（等腰对等角），
∴∠ABE=∠DCE；
∴△ABE≌△DCE；

（2）解：∵BE=CE，
∴点E在边BC的中线上，
∴AE=DE；
又∵DE=DC，AD=DC，
∴AE=DE=AD，
∴∠ADE=60°；
∵∠ADB=45°，∠BDE=∠ADE-∠ADB，
∴∠BDE=15°；
∵∠CDE=∠CDB-∠BDE，∠CDB=45°，
∴∠CDE=30°；
∴∠BDE：∠CDE=1：2；

（3）相同．
证明：连接AE．
∵AD∥BC，
∴∠DBC=∠ADB（两直线平行，内错角相等），
∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴∠ABC=∠BCD；
又∵2∠DBC=∠DCB，
∴∠ABD=∠DBC；
∴∠ADB=∠ABD，
∴AB=AD；
∵DE=DC，AB=DC，又由（2）知，AE=ED，
∴AE=ED=AD，
∴三角形AED是等边三角形；
∴∠ADE=60°；
∵∠ADB=30°，∠BDE=∠ADE-∠ADB，
∴∠BDE=30°，∠DBC=30°，
∵2∠DBC=∠DCB，
∴∠DCB=60°；
∴∠CDB=90°，
∵∠CDE=∠CDB-∠BDE，
∴∠CDE=60°；
∴∠BDE：∠CDE=1：2．