试题

如图，在等腰梯形ABCD中，∠DCB=60°，AD∥BC，且AD=DC． E，F分别在AD，DC的延长线上，且DE=CF、AF，BE交于点P，且分别交DC，BC于点H，G．
（1）求证：AF=BE；
（2）请你猜测∠BPF的度数，并证明你的结论；
（3）延长BA，CD相交于M，若AD=24，BP=27，试求三角形MBP和三角形MBH的面积比．

解：（1）∵AB=CD，AD=DC，
∴BA=AD，∠BAE=∠ADF，
∵DE=CF，
∴AE=DF，
∴△BAE≌△ADF（SAS）．
∴BE=AF．（3分）

（2）猜测∠BPF=120°．（1分）
∵由（1）△BAE≌△ADF，
∴∠ABE=∠DAF．
∴∠BPF=∠ABE+∠BAP=∠DAF+∠BAP=∠BAE．
而AD∥BC，∠DCB=∠ABC=60°，
∴∠BPF=120°．（3分）

（3）延长BA，CD交于点M，则△MBC为正三角形．
∵∠BPF=120°，
∴∠APB=∠M=60°．
而∠ABP=∠HBM，
∴△ABP∽△HBM．
∴

AB

HB

=

BP

BM

，即

24

HB

=

27

48

．
∴HB=

128

3

则S_△MBP：S_△MBH=BP：BH=81：128．（5分）
解：（1）∵AB=CD，AD=DC，
∴BA=AD，∠BAE=∠ADF，
∵DE=CF，
∴AE=DF，
∴△BAE≌△ADF（SAS）．
∴BE=AF．（3分）

（2）猜测∠BPF=120°．（1分）
∵由（1）△BAE≌△ADF，
∴∠ABE=∠DAF．
∴∠BPF=∠ABE+∠BAP=∠DAF+∠BAP=∠BAE．
而AD∥BC，∠DCB=∠ABC=60°，
∴∠BPF=120°．（3分）

（3）延长BA，CD交于点M，则△MBC为正三角形．
∵∠BPF=120°，
∴∠APB=∠M=60°．
而∠ABP=∠HBM，
∴△ABP∽△HBM．
∴

AB

HB

=

BP

BM

，即

24

HB

=

27

48

．
∴HB=

128

3

则S_△MBP：S_△MBH=BP：BH=81：128．（5分）