试题

（2011·闸北区二模）（1）如图，给出四个条件：①AE平分∠BAD，②BE平分∠ABC，③AE⊥EB，④AB=AD+BC．请你以其中三个作为命题的条件，写出一个能推出AD∥BC的正确命题，并加以证明；
（2）请你判断命题“如图，AE平分∠BAD，BE平分∠ABC，E是CD的中点，则AD∥BC．”是否正确，并说明理由．

解：（1）如：①②④·AD∥BC．
证明：在AB上取点M，使AM=AD，
连接EM，∵AE平分∠BAD，
∴∠MAE=∠DAE．
又∵AM=AD，AE=AE，
∴△AEM≌△AED．
∴∠D=∠AME．
又∵AB=AD+BC，
∴MB=BC．
∴△BEM≌△BCE．
∠C=∠BME，
故∠D+∠C=∠AME+∠BME=180°．
∴AD∥BC．

（2）不正确．
作等边三角形ABM，
AE平分∠BAM，BE平分∠ABM，
且AE、BE交于E，
连接EM，则EM⊥AB，
过E作ED∥AB交AM于D，交BM于C，
则E是CD的中点．
而AD和BC相交于点M．
∴命题：“AE平分∠BAD，BE平分∠ABC，E是CD的中点，则AD∥BC”是不正确的．
解：（1）如：①②④·AD∥BC．
证明：在AB上取点M，使AM=AD，
连接EM，∵AE平分∠BAD，
∴∠MAE=∠DAE．
又∵AM=AD，AE=AE，
∴△AEM≌△AED．
∴∠D=∠AME．
又∵AB=AD+BC，
∴MB=BC．
∴△BEM≌△BCE．
∠C=∠BME，
故∠D+∠C=∠AME+∠BME=180°．
∴AD∥BC．

（2）不正确．
作等边三角形ABM，
AE平分∠BAM，BE平分∠ABM，
且AE、BE交于E，
连接EM，则EM⊥AB，
过E作ED∥AB交AM于D，交BM于C，
则E是CD的中点．
而AD和BC相交于点M．
∴命题：“AE平分∠BAD，BE平分∠ABC，E是CD的中点，则AD∥BC”是不正确的．