试题

题目：
青果学院如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=BC，且CD=
1
2
AB，F是CD的中点，连AF．求证：∠BAF+2∠BAD=180°．
答案
青果学院解：过点F作FE⊥AB，过B作BG⊥AD，连接BD，
设CF=x，则CD=2x，EF=4x，BE=x，
∴AE=3x，
在Rt△AEF中，AF=
AE2+AF2
=5x，
∴sin∠BAF=
EF
AF
=
4
5
，
∵CD=
1
2
AB，
∴AB=4x，
∵B=BC，
∴BC=4x，
∵∠ABC=90°，
∴∠C=90°，
在Rt△BCD中，BD=
BC2+CD2
=2
5
x，
过点B作DM⊥AB，则BM=CD=2x，
∴AM=2x，
∴AM=BM，
∴AD=BD=2
5
x，
∴∠DAB=∠DBA，
∴∠DAB+∠DBA=2∠BAD，
∴∠BDA+∠BAD=180°，
∵AD·BG=AB·DM，
∴2
5
x·BG=4x·4x，
∴BG=
8
5
5
x，
∴sin∠BDA=
BG
BD
=
4
5
，
∴∠BDA=∠BAF，
∴∠BAF+2∠BAD=180°．
青果学院解：过点F作FE⊥AB，过B作BG⊥AD，连接BD，
设CF=x，则CD=2x，EF=4x，BE=x，
∴AE=3x，
在Rt△AEF中，AF=
AE2+AF2
=5x，
∴sin∠BAF=
EF
AF
=
4
5
，
∵CD=
1
2
AB，
∴AB=4x，
∵B=BC，
∴BC=4x，
∵∠ABC=90°，
∴∠C=90°，
在Rt△BCD中，BD=
BC2+CD2
=2
5
x，
过点B作DM⊥AB，则BM=CD=2x，
∴AM=2x，
∴AM=BM，
∴AD=BD=2
5
x，
∴∠DAB=∠DBA，
∴∠DAB+∠DBA=2∠BAD，
∴∠BDA+∠BAD=180°，
∵AD·BG=AB·DM，
∴2
5
x·BG=4x·4x，
∴BG=
8
5
5
x，
∴sin∠BDA=
BG
BD
=
4
5
，
∴∠BDA=∠BAF，
∴∠BAF+2∠BAD=180°．
考点梳理
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．
先过点F作FE⊥AB，过B作BG⊥AD，连接BD，设CF=x，分别表示出CD、EF、BE、AE的长，根据勾股定理求出AF，得出sin∠BAF的值，再根据勾股定理求出BD的长，然后过点B作DM⊥AB，表示出BM、
CD的长，再根据AD=BD，得出∠DAB=∠DBA，∠BDA+∠BAD=180°，根据AD·BG=AB·DM，求出BG的长，最后根据sin∠BDA=
BG
BD
=
4
5
，得出∠BDA=∠BAF，即可证出答案．
此题考查了正方形的性质，用到的知识点是勾股定理等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，矩形的性质，难度适中，解题的关键是根据题意画出辅助线．
证明题．
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