试题

题目：
青果学院（2013·黑龙江）已知等边三角形ABC的边长是2，以BC边上的高AB1为边作等边三角形，得到第一个等边三角形AB1C1，再以等边三角形AB1C1的B1C1边上的高AB2为边作等边三角形，得到第二个等边三角形AB2C2，再以等边三角形AB2C2的边B2C2边上的高AB3为边作等边三角形，得到第三个等边AB3C3；…，如此下去，这样得到的第n个等边三角形ABnCn的面积为
3
（
3
4
）n
3
（
3
4
）n
．
答案
3
（
3
4
）n

解：∵等边三角形ABC的边长为2，AB1⊥BC，
∴BB1=1，AB=2，
根据勾股定理得：AB1=
3
，
∴第一个等边三角形AB1C1的面积为
3
4
×（
3
）2=
3
（
3
4
）1；
∵等边三角形AB1C1的边长为
3
，AB2⊥B1C1，
∴B1B2=
3
2
，AB1=
3
，
根据勾股定理得：AB2=
3
2
，
∴第二个等边三角形AB2C2的面积为
3
4
×（
3
2
）2=
3
（
3
4
）2；
依此类推，第n个等边三角形ABnCn的面积为
3
（
3
4
）n．
故答案为：
3
（
3
4
）n
考点梳理
等边三角形的性质．
由AB1为边长为2等边三角形ABC的高，利用三线合一得到B1为BC的中点，求出BB1的长，利用勾股定理求出AB1的长，进而求出第一个等边三角形AB1C1的面积，同理求出第二个等边三角形AB2C2的面积，依此类推，得到第n个等边三角形ABnCn的面积．
此题考查了等边三角形的性质，属于规律型试题，熟练掌握等边三角形的性质是解本题的关键．
压轴题；规律型．
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