试题

如图，在线段AB上取一点C，分别以AC，CB为边向上作等边△ADC与等边△CEB，连接DB，AE，DB与AE交于点O，AE交CD于点M，BD交CE于点N，连接MN．求证：MN∥AB．

证明：∵△ACD和△BCE是等边三角形，
∴AC=DC，CE=CB，∠DCA=60°，∠ECB=60°，
∵∠DCA=∠ECB=60°，
∴∠DCA+∠DCE=∠ECB+∠DCE，∠ACE=∠DCB，
在△ACE与△DCB中，

AC=DC  ∠ACE=∠DCB  CE=CB

，
∴△ACE≌△DCB，
∴∠CAM=∠CDN，
∵∠ACD=∠ECB=60°，而A、C、B三点共线，
∴∠DCN=60°，
在△ACM与△DCN中，

∠MAC=∠NDC  AC=DC  ∠ACM=∠DCN=60°

，
∴△ACM≌△DCN（ASA），
∴MC=NC，
∵∠MCN=60°，
∴△MCN为等边三角形，
∴∠NMC=∠DCN=60°，
∴∠NMC=∠DCA，
∴MN∥AB．
证明：∵△ACD和△BCE是等边三角形，
∴AC=DC，CE=CB，∠DCA=60°，∠ECB=60°，
∵∠DCA=∠ECB=60°，
∴∠DCA+∠DCE=∠ECB+∠DCE，∠ACE=∠DCB，
在△ACE与△DCB中，

AC=DC  ∠ACE=∠DCB  CE=CB

，
∴△ACE≌△DCB，
∴∠CAM=∠CDN，
∵∠ACD=∠ECB=60°，而A、C、B三点共线，
∴∠DCN=60°，
在△ACM与△DCN中，

∠MAC=∠NDC  AC=DC  ∠ACM=∠DCN=60°

，
∴△ACM≌△DCN（ASA），
∴MC=NC，
∵∠MCN=60°，
∴△MCN为等边三角形，
∴∠NMC=∠DCN=60°，
∴∠NMC=∠DCA，
∴MN∥AB．