试题

如图，等边△ABC的边长为6，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是AB边上一点，若AE=2，求EM+BM的最小值．

解：连接CE，与AD交于点M．则CE就是BM+ME的最小值．
取BE中点F，连接DF．
∵等边△ABC的边长为6，AE=2，
∴BE=AB-AE=6-2=4，
∴BF=FE=AE=2，
又∵AD是BC边上的中线，
∴DF是△BCE的中位线，
∴CE=2DF，CE∥DF，
又∵E为AF的中点，
∴M为AD的中点，
∴ME是△ADF的中位线，
∴DF=2ME，
∴CE=2DF=4ME，
∴CM=

3

4

CE．
在直角△CDM中，CD=

1

2

BC=3，DM=

1

2

AD，
CM=

CD2+MD2

=

3 7

2

，
CE=

4

3

×

3 7

2

=2

7

，
∵BM+ME=CE，
∴BM+ME的最小值为2

7

．
解：连接CE，与AD交于点M．则CE就是BM+ME的最小值．
取BE中点F，连接DF．
∵等边△ABC的边长为6，AE=2，
∴BE=AB-AE=6-2=4，
∴BF=FE=AE=2，
又∵AD是BC边上的中线，
∴DF是△BCE的中位线，
∴CE=2DF，CE∥DF，
又∵E为AF的中点，
∴M为AD的中点，
∴ME是△ADF的中位线，
∴DF=2ME，
∴CE=2DF=4ME，
∴CM=

3

4

CE．
在直角△CDM中，CD=

1

2

BC=3，DM=

1

2

AD，
CM=

CD2+MD2

=

3 7

2

，
CE=

4

3

×

3 7

2

=2

7

，
∵BM+ME=CE，
∴BM+ME的最小值为2

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