试题

阅读理解：给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，则这个矩形是给定矩形的“减半”矩形．如图，矩形A₁B₁C₁D₁是矩形ABCD的“减半”矩形．

请你解决下列问题：
（1）当矩形的长和宽分别为1，2时，它是否存在“减半”矩形？请作出判断，并请说明理由；
（2）边长为a的正方形存在“减半”正方形吗？如果存在，求出“减半”正方形的边长；如果不存在，说明理由．

解：（1）不存在．（1分）
假设存在，不妨设“减半”矩形的长和宽分别为x、y，
则

x+y= 3 2 xy=1

，（3分）
由①得：y=

3

2

-x③，
把③代入②得：x²-

3

2

x+1=0，
b²-4ac=

9

4

-4＜0，（5分）
所以不存在；

（2）不存在．（6分）
因为两个正方形是相似图形，当它们的周长比为

1

2

时，面积比必定是

1

4

，
所以正方形不存在“减半”正方形．（10分）
解：（1）不存在．（1分）
假设存在，不妨设“减半”矩形的长和宽分别为x、y，
则

x+y= 3 2 xy=1

，（3分）
由①得：y=

3

2

-x③，
把③代入②得：x²-

3

2

x+1=0，
b²-4ac=

9

4

-4＜0，（5分）
所以不存在；

（2）不存在．（6分）
因为两个正方形是相似图形，当它们的周长比为

1

2

时，面积比必定是

1

4

，
所以正方形不存在“减半”正方形．（10分）