试题

如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．如4=2²-0²，12=4²-2²，20=6²-4²，因此，4，12，20都是“和谐数”．
（1）36和2020这两个数是“和谐数”吗？为什么？
（2）请你说明“和谐数”一定是4的倍数．

解：（1）36和2020这两个数是“和谐数”．理由如下：
36=10²-8²；2020=506²-504²；
（2）设两个连续偶数为2n，2n+2（n为自然数），
∵（2n+2）²-（2n）²=（2n+2+2n）（2n+2-2n）
=（4n+2）×2
=4（2n+1），
∵4（2n+1）能被4整除，
∴“和谐数”一定是4的倍数．
解：（1）36和2020这两个数是“和谐数”．理由如下：
36=10²-8²；2020=506²-504²；
（2）设两个连续偶数为2n，2n+2（n为自然数），
∵（2n+2）²-（2n）²=（2n+2+2n）（2n+2-2n）
=（4n+2）×2
=4（2n+1），
∵4（2n+1）能被4整除，
∴“和谐数”一定是4的倍数．