试题

如图，∠ACB=90°，∠BAC=30°，△ABD和△ACE都是等边三角形，F为AB中点，DE交AB于G点，下列结论中：
①EF⊥AC；②四边形ADFE是菱形； ③AD=4AG；④△DBF≌△EFA．正确的结论是（　　）
A．②④
B．①③
C．②③④
D．①③④

D
解：（1）如图，连接CF，∠ABC=60°．△ABC是直角三角形，
所以CF=

1

2

AB=AF，
△ACE是等边三角形，
所以AE=CE，而△AEF与△CEF共一条边，由此可知，△AEF≌△CEF．
所以A点和C点是关于EF的对称点，EF⊥AC成立；

（2）F是AB中点，所以DF⊥AB，那么在△ADF中AD是斜边，DF是直角边，
即AD＞DF，由此可知四边形ADFE不可能是菱形．

（3）∠DAB=∠ABC=60°，所以AD∥BC．AC⊥EF，∠ACB=90°，所以EF∥AD．由上可知AD∥EF．
EF=2AF=AD．
故AD=EF．
四边形ADFE是平行四边形，AG=

1

2

AF=

1

4

AB=

1

4

AD，
即AD=4AG．

（4）由四边形ADFE是平行四边形可得AE=DF，AD=FE，而AD=DB，
所以DB=FE，AF=FB，
故得△DBF≌△EFA．