试题

题目：
青果学院（2011·南宁）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=1．过点C作CC1⊥AB于C1，过点C1作C1C2⊥AC于C2，过点C2作C2C3⊥AB于C3，…，按此作发进行下去，则ACn=
(
3
)n+1
2n
(
3
)n+1
2n
．
答案
(
3
)n+1
2n

解：∵∠ACB=90°，∠A=30°，BC=1，
∴AB=2 AC=
3
，
∵CC1⊥AB于C1，
∴
3
2
=
AC1
AC
，
∴AC1=
3
2
=
(
3
)2
21
，
∵C1C2⊥AC，C2C3⊥AB，
∴同理，AC2=
3
3
4
=
(
3
)3
22
，AC3=
9
8
=
(
3
) 4
23
，
∴ACn=
(
3
)n+1
2n
．
故答案为
(
3
)n+1
2n
．
考点梳理
含30度角的直角三角形；垂线；相似三角形的判定与性质．
通过题意可以计算出AB=2 AC=
3
，根据题意特殊角的三角函数值即可推出
3
2
=
AC1
AC
，可得AC1=
3
2
=
(
3
)2
21
，同理即可推出AC2=
3
3
4
=
(
3
)3
22
，AC3=
9
8
=
(
3
) 4
23
，所以ACn=
(
3
)n+1
2n
．
本题主要考查特殊角的三角函数值，二次根式的化简，垂线的性质等知识点，关键在于熟练运用相关的性质定理推出AC1，AC2，AC3的长度，通过对分子分母的变形归纳出序数与分子分母的次数之间的关系，分析出规律即可．
压轴题；规律型．
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