试题

（2012·平顶山一模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=10，P是AB边上的一个动点（异于A、B两点），过点P作PQ⊥AC于Q，以PQ为边向下作等边三角形PQR．设AP=x，△PQR与△ABC重叠部分的面积为y，连接RB．
（1）当x=2时，求y的值；
（2）当x取何值时，四边形AQRB是等腰梯形；当x取何值时，四边形PQRB是平行四边形．

解：（1）∵∠A=30°，∠AQP=90°，
∴QP=

1

2

AP=1．
此时△PQR在△ABC内，y=S_△PQR=

3

4

；

（2）①∵四边形AQRB是等腰梯形，
∴BR=AQ，∠PBR=∠A=30°．
∵∠APQ=∠RPQ=60°，
∴∠BPR=60°．
又∵PR=PQ，
∴△BPR≌△APQ．
∴BP=AP=

1

2

AB．
∴AP=

1

2

AB=5．
∴当x=5时，四边形AQRB是等腰梯形．
②要使四边形PQRB是平行四边形，则R应在BC上．
∵△PQR是等边三角形，
∴QR=PQ=

1

2

x．
又∵四边形PQRB是平行四边形，
∴BP=QR=

1

2

x．
∴AB=x+

1

2

x=10，
解得x=

20

3

．
∴当x=

20

3

时，四边形PQRB是平行四边形．
解：（1）∵∠A=30°，∠AQP=90°，
∴QP=

1

2

AP=1．
此时△PQR在△ABC内，y=S_△PQR=

3

4

；

（2）①∵四边形AQRB是等腰梯形，
∴BR=AQ，∠PBR=∠A=30°．
∵∠APQ=∠RPQ=60°，
∴∠BPR=60°．
又∵PR=PQ，
∴△BPR≌△APQ．
∴BP=AP=

1

2

AB．
∴AP=

1

2

AB=5．
∴当x=5时，四边形AQRB是等腰梯形．
②要使四边形PQRB是平行四边形，则R应在BC上．
∵△PQR是等边三角形，
∴QR=PQ=

1

2

x．
又∵四边形PQRB是平行四边形，
∴BP=QR=

1

2

x．
∴AB=x+

1

2

x=10，
解得x=

20

3

．
∴当x=

20

3

时，四边形PQRB是平行四边形．