试题

题目：
有一正整数列1，2，3，…，2n-1、2n，现从中挑出n个数，从大到小排列依次为a1，a2，…，an，另n个数从小到大排列依次为b1，b2，…，bn．求|a1-b1|+|a2-b2|+…+|an-bn|之所有可能的值．
答案
解：令n+1、n+2、n+3、…、2n为大数，1、2、3、…、n为小数．
设ai中必也有n-k个小数，则bi中必有n-k个大数，k个小数，
其中i=1，2，3，n，0≤k≤n，k∈Z
令：a1，a2，…，ak，bk+1，bk+2，…，bn为大数，
b1，b2，…，bk，ak+1，ak+2，…，an为小数．故|a1-b1|+|a2-b2|+…+|an-bn|
=|a1-b1|+|a2-b2|+…+|ak-bk|+|ak+1-bk+1|+|ak+2-bk+2|+…+|an-bn|
=（a1-b1）+（a2-b2）+…+（ak-bk）+（bk+1-ak+1）+（bk+2-ak+2）+…+（an-bn）
=（（n+1）+（n+2）+…+（2n））-（1+2+3+…+n）
=n2．
解：令n+1、n+2、n+3、…、2n为大数，1、2、3、…、n为小数．
设ai中必也有n-k个小数，则bi中必有n-k个大数，k个小数，
其中i=1，2，3，n，0≤k≤n，k∈Z
令：a1，a2，…，ak，bk+1，bk+2，…，bn为大数，
b1，b2，…，bk，ak+1，ak+2，…，an为小数．故|a1-b1|+|a2-b2|+…+|an-bn|
=|a1-b1|+|a2-b2|+…+|ak-bk|+|ak+1-bk+1|+|ak+2-bk+2|+…+|an-bn|
=（a1-b1）+（a2-b2）+…+（ak-bk）+（bk+1-ak+1）+（bk+2-ak+2）+…+（an-bn）
=（（n+1）+（n+2）+…+（2n））-（1+2+3+…+n）
=n2．
考点梳理
绝对值．
求|a1-b1|+|a2-b2|+…+|an-bn|的值，首先要去掉绝对值符号，就要比较式子中ak与bk的大小关系，因而在这两组数中，设ai中必也有n-k个小数，则bi中必有n-k个大数，k个小数，即可把绝对值符号去掉，求得式子的值．
本题主要考查了绝对值的性质，正数的绝对值一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．并且能够理解需要对两组中的数进行比较，正确去掉绝对值符号，是解题的关键．
规律型．
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