试题

已知关于x的方程x²-（k+1）x+（2k-2）=0．
（1）求证：无论k取何值，此方程总有实根；
（2）若两⊙O₁、⊙O₂相切，O₁O₂=5，且两圆半径r₁、r₂恰好是此方程的两根，求k的值．

（1）证明：∵△=b²-4ac
=[-（k+1）]²-4×（2k-2）
=k²-6k+9
=（k-3）²；
∴△=（k-3）²≥0，
∴无论k取任何实数时，方程总有实数根．

（2）解：x²-（k+1）x+（2k-2）=0．
（x-2）（x-k+1）=0，
∴x₁=2，x₂=k-1．
当两⊙O₁、⊙O₂内切时，k-1-2=5，解得k=8；
当两⊙O₁、⊙O₂外切时，k-1+2=5，解得k=4．
故k的值为8或4．
（1）证明：∵△=b²-4ac
=[-（k+1）]²-4×（2k-2）
=k²-6k+9
=（k-3）²；
∴△=（k-3）²≥0，
∴无论k取任何实数时，方程总有实数根．

（2）解：x²-（k+1）x+（2k-2）=0．
（x-2）（x-k+1）=0，
∴x₁=2，x₂=k-1．
当两⊙O₁、⊙O₂内切时，k-1-2=5，解得k=8；
当两⊙O₁、⊙O₂外切时，k-1+2=5，解得k=4．
故k的值为8或4．