试题

（2008·旅顺口区）在某张航海图上，标明了三个观测点的坐标，如图，O（0，0）、B（6，0）、C（6，8），由三个观测点确定的圆形区域是海洋生物保护区．
（1）求圆形区域的面积（π取3.14）；
（2）某时刻海面上出现-渔船A，在观测点O测得A位于北偏东45°，同时在观测点B测得A位于北偏东30°，求观测点B到A船的距离．（

3

≈1.7，保留三个有效数字）；
（3）当渔船A由（2）中位置向正西方向航行时，是否会进入海洋生物保护区？通过计算回答．

解：（1）连接CB，CO，则CB∥y轴，
∴∠CBO=90°，
设O′为由O、B、C三点所确定圆的圆心．
则OC为⊙O′的直径．
由已知得OB=6，CB=8，由勾股定理得OC=

82+62

=

100

=10
半径OO′=5，S_⊙O′=π·5²=25π=78.50．

（2）解法一：过点A作AD⊥x轴于点D，依题意，得∠BAD=30°，
在Rt△ABD中，设BD=x，则AB=2x，
由勾股定理得，AD=

AB2-BD2

=

3

x，
由题意知：OD=OB+BD=6+x，在Rt△AOD中，OD=AD，6+x=

3

x，
∴x=

6

3 -1

=3（

3

+1）≈3（1.7+1）=8.1，
∴AB=2x=2×8.1=16.2；
解法二：过点A作AD⊥x轴于点D，则∠AOD=45°，∠BAD=30°，∠ABD=90°-30°=60°，
在Rt△ABD中，设BD=x，则AB=2x．
∵tan60°=

AD

BD

，
∴AD=xtan60°=

3

x；
在Rt△AOD中，OD=OB+BD=6+x，
∵tan45°=

AD

OD

，
∴AD=tan45°·（6+x）=6+x．
∴

3

x=6+x，x=

6

3 -1

=3（

3

+1）≈3（1.7+1）=8.1，
∴AB=2x=2×8.1=16.2．
或AB=2×

6

3 -1

=2×

6( 3 +1)

2

=6(

3

+1)≈6（1.7+1）=16.2；
解法三：过点A作AD⊥x轴于点D．
在Rt△ABD中，设BD=x，AD=y，
∵∠ABD=90°-30°=60°，tan60°=

y

x

，∴y=

3

x．
在Rt△AOD中，∠AOD=45°，OD=6+x．
∵tan45°=

y

6+x

，
∴y=6+x，
∴

3

x=6+x，以下同解法二．

（3）解法一：过点A作AG⊥y轴于点G．
过点O′作O′E⊥OB于点E，并延长EO′交AG于点F．
由（1）知，OO′=5，由垂径定理得，OE=BE=

1

2

×6=3．
∴在Rt△OO′E中，由勾股定理得，O′E=

52-32

=4
∵四边形FEDA为矩形．
∴EF=DA，而AD=

3

x=

3

×8.57≈14.6，
∴O′F=14.6-4=10.6＞5，
∴直线AG与⊙O′相离，A船不会进入海洋生物保护区．
解法二：AD=

3

x=

3

×3（

3

+1）=9+3

3

，
设直线O′F交⊙O′于点P，PE=5+4=9＜9+3

3

，
即PE＜AD，由矩形FEDA可得FE=AD．
∴PE＜FE，
所以A船不会进入海洋生物保护区．
解：（1）连接CB，CO，则CB∥y轴，
∴∠CBO=90°，
设O′为由O、B、C三点所确定圆的圆心．
则OC为⊙O′的直径．
由已知得OB=6，CB=8，由勾股定理得OC=

82+62

=

100

=10
半径OO′=5，S_⊙O′=π·5²=25π=78.50．

（2）解法一：过点A作AD⊥x轴于点D，依题意，得∠BAD=30°，
在Rt△ABD中，设BD=x，则AB=2x，
由勾股定理得，AD=

AB2-BD2

=

3

x，
由题意知：OD=OB+BD=6+x，在Rt△AOD中，OD=AD，6+x=

3

x，
∴x=

6

3 -1

=3（

3

+1）≈3（1.7+1）=8.1，
∴AB=2x=2×8.1=16.2；
解法二：过点A作AD⊥x轴于点D，则∠AOD=45°，∠BAD=30°，∠ABD=90°-30°=60°，
在Rt△ABD中，设BD=x，则AB=2x．
∵tan60°=

AD

BD

，
∴AD=xtan60°=

3

x；
在Rt△AOD中，OD=OB+BD=6+x，
∵tan45°=

AD

OD

，
∴AD=tan45°·（6+x）=6+x．
∴

3

x=6+x，x=

6

3 -1

=3（

3

+1）≈3（1.7+1）=8.1，
∴AB=2x=2×8.1=16.2．
或AB=2×

6

3 -1

=2×

6( 3 +1)

2

=6(

3

+1)≈6（1.7+1）=16.2；
解法三：过点A作AD⊥x轴于点D．
在Rt△ABD中，设BD=x，AD=y，
∵∠ABD=90°-30°=60°，tan60°=

y

x

，∴y=

3

x．
在Rt△AOD中，∠AOD=45°，OD=6+x．
∵tan45°=

y

6+x

，
∴y=6+x，
∴

3

x=6+x，以下同解法二．

（3）解法一：过点A作AG⊥y轴于点G．
过点O′作O′E⊥OB于点E，并延长EO′交AG于点F．
由（1）知，OO′=5，由垂径定理得，OE=BE=

1

2

×6=3．
∴在Rt△OO′E中，由勾股定理得，O′E=

52-32

=4
∵四边形FEDA为矩形．
∴EF=DA，而AD=

3

x=

3

×8.57≈14.6，
∴O′F=14.6-4=10.6＞5，
∴直线AG与⊙O′相离，A船不会进入海洋生物保护区．
解法二：AD=

3

x=

3

×3（

3

+1）=9+3

3

，
设直线O′F交⊙O′于点P，PE=5+4=9＜9+3

3

，
即PE＜AD，由矩形FEDA可得FE=AD．
∴PE＜FE，
所以A船不会进入海洋生物保护区．