试题

AD，BE，CF是锐角△ABC的三条高．从A引EF的垂线l₁，从B引FD的垂线l₂，从C引DE的垂线l₃．求证：l₁，l₂，l₃三线共点．

证明：设l₁、l₂交于O点，
∵∠ADB=∠AEB=90°，
∴A、B、D、E四点共圆，
∴∠BED=∠BAD，
同理，由B、C、E、F四点共圆，得∠BEF=∠BCF，
由互余关系可知∠BAD=∠BCF，
∴∠BEF=∠BED，
又BE⊥AE，l₁⊥EF，
∴∠BEF=∠OAE，
同理可证∠BED=∠OCE，∴∠OAE=∠OCE，
∴O点为AC中垂线上的点，
设l₂、l₃交于O′点，
同理可证O′为BC中垂线上的点，
∵三角形的三边中垂线交于一点（外心），
∴l₁，l₂，l₃三线共点．
证明：设l₁、l₂交于O点，
∵∠ADB=∠AEB=90°，
∴A、B、D、E四点共圆，
∴∠BED=∠BAD，
同理，由B、C、E、F四点共圆，得∠BEF=∠BCF，
由互余关系可知∠BAD=∠BCF，
∴∠BEF=∠BED，
又BE⊥AE，l₁⊥EF，
∴∠BEF=∠OAE，
同理可证∠BED=∠OCE，∴∠OAE=∠OCE，
∴O点为AC中垂线上的点，
设l₂、l₃交于O′点，
同理可证O′为BC中垂线上的点，
∵三角形的三边中垂线交于一点（外心），
∴l₁，l₂，l₃三线共点．