试题

如图：有100m长的篱笆材料，想围成一矩形仓库，要求面积不小于600㎡，在场地的北面有一堵长50m的旧墙，有人用这些篱笆围出一个长40m，宽10m的仓库，但面积只有40×10=400（㎡）不合要求，问应如何设计矩形的长与宽才能符合要求呢？你能设计出最优方案吗？

解：设矩形的宽为xm，则长为（50-x）m，面积为S=x（50-x）m²，
（1）若面积恰为600㎡时，
则有x（50-x）=600
解得：x₁=20，x₂=30，
则长为30m或20m，
故取长为30m，宽为20m，符合设计方案的要求；

（2）若想利用篱笆独立做一个矩形仓库，其最大面积为：
S=x（50-x）=-x²+50x=-（x²-50x）=-（x-25）²+625，
所以当矩形长和宽均取为25m时，
面积最大可达625m²，此时矩形为正方形，比前一种方案更好；

（3）若利用旧墙为一边，
设矩形的宽为xm，
则矩形面积S=x（100-2x），
因为墙长50m，
所以100-2x≤50，
若S=600m²，则有x（100-2x）=600，
解得x1=25+5

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，x2=25-5

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，
由100-2x≤50得x≥25，
故取x=25+5

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，
即若利用旧墙，取矩形宽为25+5

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也是符合方案要求的一种设计，
此时最大面积为：
S=x（100-2x）=-2x²+100x=-2（x-25）²+1250，
即若取矩形宽为25，长为50，则面积可达1250m²．
因此：要想设计的仓库面积最大，在利用现有条件前提下，最优设计方案是利用旧墙，取矩形宽为25m，此时面积达到1250m²．
解：设矩形的宽为xm，则长为（50-x）m，面积为S=x（50-x）m²，
（1）若面积恰为600㎡时，
则有x（50-x）=600
解得：x₁=20，x₂=30，
则长为30m或20m，
故取长为30m，宽为20m，符合设计方案的要求；

（2）若想利用篱笆独立做一个矩形仓库，其最大面积为：
S=x（50-x）=-x²+50x=-（x²-50x）=-（x-25）²+625，
所以当矩形长和宽均取为25m时，
面积最大可达625m²，此时矩形为正方形，比前一种方案更好；

（3）若利用旧墙为一边，
设矩形的宽为xm，
则矩形面积S=x（100-2x），
因为墙长50m，
所以100-2x≤50，
若S=600m²，则有x（100-2x）=600，
解得x1=25+5

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，x2=25-5

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，
由100-2x≤50得x≥25，
故取x=25+5

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，
即若利用旧墙，取矩形宽为25+5

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也是符合方案要求的一种设计，
此时最大面积为：
S=x（100-2x）=-2x²+100x=-2（x-25）²+1250，
即若取矩形宽为25，长为50，则面积可达1250m²．
因此：要想设计的仓库面积最大，在利用现有条件前提下，最优设计方案是利用旧墙，取矩形宽为25m，此时面积达到1250m²．