试题

已知二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c均为实数且a≠0）满足条件：对任意实数x都有y≥2x；且当0＜x＜2时，总有y≤

1

2

(x+1)2成立．
（1）求a+b+c的值；
（2）求a-b+c的取值范围．

解：（1）由题意可知对任意实数x都有y≥2x，
∴当x=1时，y≥2；
且当0＜x＜2时，总有y≤

1

2

(x+1)2成立，
故当x=1，y≤2，
∴当x=1时，y=2，故二次函数y=ax²+bx+c经过（1，2）点，
∴a+b+c=2；

（2）ax²+bx+c≥2x，
ax²+（b-2）x+c≥0，
由（1）知b=2-a-c，代入得△=（a+c）²-4ac≥0，（a-c）²≥0，
所以c=a，b=2-2a．
再列得ax²+bx+c≤

1

2

（x+1）²，把c=a，b=2-2a代入可得 （a-

1

2

）x²-2（a-

1

2

）x+a-

1

2

≤0，（a-

1

2

）（x-1）²≤0，
因为0＜x＜2，（x-1）≥0，
故a≤

1

2

．
根据图象法可得此抛物线要永远在y=2x这条一次函数上方满足a＞0．
综上所述，a的取值范围是0＜a≤

1

2

，a-b+c=4a-2，把a的取值范围代入可得-2＜a-b+c≤0．
解：（1）由题意可知对任意实数x都有y≥2x，
∴当x=1时，y≥2；
且当0＜x＜2时，总有y≤

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(x+1)2成立，
故当x=1，y≤2，
∴当x=1时，y=2，故二次函数y=ax²+bx+c经过（1，2）点，
∴a+b+c=2；

（2）ax²+bx+c≥2x，
ax²+（b-2）x+c≥0，
由（1）知b=2-a-c，代入得△=（a+c）²-4ac≥0，（a-c）²≥0，
所以c=a，b=2-2a．
再列得ax²+bx+c≤

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（x+1）²，把c=a，b=2-2a代入可得 （a-

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）x²-2（a-

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）x+a-

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≤0，（a-

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）（x-1）²≤0，
因为0＜x＜2，（x-1）≥0，
故a≤

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．
根据图象法可得此抛物线要永远在y=2x这条一次函数上方满足a＞0．
综上所述，a的取值范围是0＜a≤

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，a-b+c=4a-2，把a的取值范围代入可得-2＜a-b+c≤0．