试题

（2013·西城区一模）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC⊥AB，AB=2，且AC：BD=2：3．
（1）求AC的长；
（2）求△AOD的面积．

解：（1）∵AC⊥AB，
∴∠BAO=90°，
∵AC：BD=2：3，
∴设AC=2a，BD=3a，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=

1

2

AC=a，BO=

1

2

BD=1.5a，
在Rt△BAO中，由勾股定理得：2²+a²=（1.5a）²，
a=

4 5

5

，
AO=CO=

4 5

5

AC=2a=

8 5

5

；

（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AO=OC，BO=DO，
在△AOD和△COB中

AO=OC AD=BC OD=BO

∴△AOD≌△COB（SSS），
∴S_△AOD=S_△BOC，
∵S_△BOC=

1

2

CO×AB=

1

2

×

4 5

5

×2=

4 5

5

，
∴△AOD的面积是

4 5

5

．
解：（1）∵AC⊥AB，
∴∠BAO=90°，
∵AC：BD=2：3，
∴设AC=2a，BD=3a，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=

1

2

AC=a，BO=

1

2

BD=1.5a，
在Rt△BAO中，由勾股定理得：2²+a²=（1.5a）²，
a=

4 5

5

，
AO=CO=

4 5

5

AC=2a=

8 5

5

；

（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AO=OC，BO=DO，
在△AOD和△COB中

AO=OC AD=BC OD=BO

∴△AOD≌△COB（SSS），
∴S_△AOD=S_△BOC，
∵S_△BOC=

1

2

CO×AB=

1

2

×

4 5

5

×2=

4 5

5

，
∴△AOD的面积是

4 5

5

．