试题

（2010·越秀区二模）已知，如图，在直角坐标系内，△ABC的顶点在坐标轴上，关于x的方程x²-4x+m²-2m+5=0有实数根，并且AB、AC的长分别是方程两根的5倍．
（1）求AB、AC的长；
（2）若tan∠ACO=

4

3

，P是AB的中点，求过C、P两点的直线解析式；
（3）在（2）问的条件下，坐标平面内是否存在点M，使以点O、M、P、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）方法一：
∵x²-4x+m²-2m+5=0，
（x-2）²+（m-1）²=0
∴x=2，m=1，
x²-4x+4=0，
x₁=x₂=2
AB=AC=10
方法二：
∵方程有实数根
∴△=-（m-1）²≥0
∴（m-1）²≤0而（m-1）²≥0
∴m=1
∴x₁=x₂=2
∴AB=AC=10

（2）y_CP=-

4

9

x+

8

3

（3）M₁（3，4），M₂（9，-4），M₃（-9，4）．
解：（1）方法一：
∵x²-4x+m²-2m+5=0，
（x-2）²+（m-1）²=0
∴x=2，m=1，
x²-4x+4=0，
x₁=x₂=2
AB=AC=10
方法二：
∵方程有实数根
∴△=-（m-1）²≥0
∴（m-1）²≤0而（m-1）²≥0
∴m=1
∴x₁=x₂=2
∴AB=AC=10

（2）y_CP=-

4

9

x+

8

3

（3）M₁（3，4），M₂（9，-4），M₃（-9，4）．