试题

题目：
青果学院在△ABC中，M是BC中点，AN平分∠BAC，AN⊥BN于N，AB，AC，MN之间的数量关系为
MN=
1
2
（AC-AB）
MN=
1
2
（AC-AB）
．
答案
MN=
1
2
（AC-AB）

青果学院解：延长线段BN交AC于E．
∵AN平分∠BAC，
∴∠BAN=∠EAN，
∵AN⊥BN，
∴∠ANE=∠ANB=90°，
在△ANB和△ANE中
∠NAE=∠NAB
AN=AN
∠ANB=∠ANE=90°
，
∴△ABN≌△AEN（ASA），
∴AE=AB，BN=NE，
又∵M是△ABC的边BC的中点，
∴MN=
1
2
CE，
∴MN=
1
2
（AC-AE）=
1
2
（AC-AB），
故答案为：MN=
1
2
（AC-AB）．
考点梳理
三角形中位线定理；等腰三角形的判定与性质．
首先证明△ABN≌△AEN，可得AE=AB，BN=NE，再由条件M是BC中点，可知MN是△BEC的中位线，可得MN=
1
2
EC，再有EC=AC-AE，AE=AB，可得MN=
1
2
（AC-AB）．
此题主要考查了三角形中位线定理，全等三角形的判定，关键是证出△ABN≌△AEN，得到AE=AB，BN=NE，熟记三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
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