试题

如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD；AB=9，CD=3，AD=BC=5，DE⊥AB于点E，动点M从点A出发沿线段AB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动；动点N同时从点B出发沿线段BC以每秒1个单位长度的速度向终点C运动、设运动的时间为t秒（0＜t＜

9

2

）．
（1）DE的长为；
（2）当MN∥AD时，求t的值；
（3）试探究：t为何值时，△MNB为等腰三角形．

解：（1）∵四边形ABCD是等腰梯形，DE⊥AB于点E，AB∥CD，
∴AE=

1

2

（AB-CD）=3，
在Rt△AED中，由勾股定理可得：
∴DE=

AD2-AE2

=

52-32

=4，

（2）由（1）可得AE=3=CD，连接CE，如右图所示：
∵AE∥DC且AE=DC，
∴四边形AECD是平行四边形，
∴AD=CE且AD∥CE
又∵MN∥AD，
∴MN∥CE
∴△BMN∽△BEC，
∴

BN

BC

=

BM

BE

，
t秒后，BM=AB-2t=9-2t，BN=t，BE=6，BC=5
即：

t

5

=

9-2t

6

，t=

45

16

．
所以，t的值为

45

16

秒．

（3）在△MNB中，BM=AB-2t=9-2t，BN=t，
①当NM=NB时，MN∥CE，
此时，由（2）知t的值为

45

16

秒；
②当BM=BN时，9-2t=t，t=3，
此时，t的值为3秒．
③当MN=MB时，过点M作MH⊥BC于H，过点C作CG⊥AB于G，如右图所示：
∵∠B=∠B，∠MHB=∠CGB
∴△BMH∽△BCG
∴

BM

BC

=

BH

BG

，即：

9-2t

5

=

t 2

3

，t=

54

17

，
所以，此时t的值为：

54

17

．
所以，当t=

45

16

秒，t=3秒，t=

54

17

秒时，△MNB为等腰三角形．