试题

题目:
如图1,梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,
(1)如果P、E、F分别是BC、AC、BD的中点(如图1),求证:AB=PE+PF;
(2)如果P是BC上任意一点,(中点除外),过P作PE∥AB交AC于E,PF∥DC交BD于F(如图2),那么AB=PE+PF还成立吗?如果成立,请证明;如果不成立,请说明理由;
(3)如果P为BC的延长线上任意点,(2)中的其它条件不变(如图3),请你直接写出AB、PE、PF三条线段的确定的数量关系.(不需要证明)
青果学院
答案
青果学院(1)证明:∵P、F分别为BC、BD的中点,
∴PF=
1
2
CD,(1分)
同理:PE=
1
2
AB,
又∵AB=CD,
∴PF=
1
2
AB,(2分)
∴AB=PE+PF;(3分)

(2)答:成立,AB=PE+PF.(4分)
∵AB=DC,
∴∠ABC=∠DCB且BC为公共边,
∴△ABC≌△DCB(SAS),
∴∠ACB=∠FBP,
又∵AD∥BC,
∴∠DAC=∠ACB,
∴∠DAC=∠FBP,
∵FP∥CD,
∴∠FPB=∠DCB.
∴∠FPB=∠AGE.
∴△AEG≌△BPF(ASA).
∴AB=PG=PE+PF.(8分)

(3)答:AB=PF-PE.(10分)
青果学院(1)证明:∵P、F分别为BC、BD的中点,
∴PF=
1
2
CD,(1分)
同理:PE=
1
2
AB,
又∵AB=CD,
∴PF=
1
2
AB,(2分)
∴AB=PE+PF;(3分)

(2)答:成立,AB=PE+PF.(4分)
∵AB=DC,
∴∠ABC=∠DCB且BC为公共边,
∴△ABC≌△DCB(SAS),
∴∠ACB=∠FBP,
又∵AD∥BC,
∴∠DAC=∠ACB,
∴∠DAC=∠FBP,
∵FP∥CD,
∴∠FPB=∠DCB.
∴∠FPB=∠AGE.
∴△AEG≌△BPF(ASA).
∴AB=PG=PE+PF.(8分)

(3)答:AB=PF-PE.(10分)
考点梳理
等腰梯形的性质;三角形中位线定理.
(1)由于PF是△BDC的中位线,PE是△ABC的中位线而AB=CD,故有PF=PE
(2)延长PE交AD于G,易证:四边形ABPG为平行四边形,可证:△AEG≌△BPF,得EG=PF,故有AB=PG=PE+PF
(3)延长AD交EP于G,易证:四边形DGPC为平行四边形,可证:△DFG≌△CPF,得FG=PF,故有AB=PG=PE-PF
本题利用了三角形中位线的性质,等腰梯形的性质,平行线的性质,全等三角形的判定和性质求解.
证明题;探究型.
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