试题

如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=a，BC=b，点E是线段AD上的一个动点（E与A、D不重合），G，F，H分别是BE，BC，CE的中点．
（1）四边形EGFH是什么特殊四边形？为什么？
（2）当点E运动到什么位置时，四边形EGFH是菱形？
（3）若（2）中菱形EGFH是正方形，试求等腰梯形的面积．

解：（1）四边形EGFH是平行四边形．
理由是：
∵F，H分别是BC，CE的中点，
∴GF∥EH，GF=EH，
四边形EGFH是平行四边形．

（2）当点E运动到AD的中点时，四边形EGFH是菱形．
证明：∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴AB=DC，∠A=∠D．
∵AE=DE，
∴△ABE≌△DCE，
∴BE=CE，
∵G，H分别是BE，CE的中点，
∴EG=EH，
又由（1）知四边形EGFH是平行四边形，
∴四边形EGFH是菱形．

（3）∵四边形EGFH是正方形，
∴EG=EH，∠BEC=90°
∵G，H分别是BE，CE的中点，
∴EB=EC．
∵F是BC的中点，
∴EF⊥BC，EF=

1

2

BC．
又∵AD=a，BC=b，
∴等腰梯形的面积为

(a+b)

2

×

b

2

=

b(b+a)

4

．
解：（1）四边形EGFH是平行四边形．
理由是：
∵F，H分别是BC，CE的中点，
∴GF∥EH，GF=EH，
四边形EGFH是平行四边形．

（2）当点E运动到AD的中点时，四边形EGFH是菱形．
证明：∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴AB=DC，∠A=∠D．
∵AE=DE，
∴△ABE≌△DCE，
∴BE=CE，
∵G，H分别是BE，CE的中点，
∴EG=EH，
又由（1）知四边形EGFH是平行四边形，
∴四边形EGFH是菱形．

（3）∵四边形EGFH是正方形，
∴EG=EH，∠BEC=90°
∵G，H分别是BE，CE的中点，
∴EB=EC．
∵F是BC的中点，
∴EF⊥BC，EF=

1

2

BC．
又∵AD=a，BC=b，
∴等腰梯形的面积为

(a+b)

2

×

b

2

=

b(b+a)

4

．