试题

如图，△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，△ABD，△ACE，△BCF都是等边三角形，求四边形AEFD的面积．

解：∵如图，△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，
∴BC²=AB²+AC²，
∴∠BAC=90°，
∵△ABD，△ACE都是等边三角形，
∴∠DAB=∠EAC=60°，
∴∠DAE=150°．
∵△ABD和△FBC都是等边三角形，
∴∠DBF+∠FBA=∠ABC+∠ABF=60°，
∴∠DBF=∠ABC．
∴在△ABC与△DBF中，

BD=BA ∠DBF=∠ABC BF=BC

，
∴△ABC≌△DBF（SAS），
∴AC=DF=AE=4，
同理可证△ABC≌△EFC，
∴AB=EF=AD=3，
∴四边形DAEF是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）．
∴∠FDA=180°-∠DAE=30°，
∴S_·AEFD=AD·DF·sin30°=3×4×

1

2

=6．
答四边形AEFD的面积是6．
解：∵如图，△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，
∴BC²=AB²+AC²，
∴∠BAC=90°，
∵△ABD，△ACE都是等边三角形，
∴∠DAB=∠EAC=60°，
∴∠DAE=150°．
∵△ABD和△FBC都是等边三角形，
∴∠DBF+∠FBA=∠ABC+∠ABF=60°，
∴∠DBF=∠ABC．
∴在△ABC与△DBF中，

BD=BA ∠DBF=∠ABC BF=BC

，
∴△ABC≌△DBF（SAS），
∴AC=DF=AE=4，
同理可证△ABC≌△EFC，
∴AB=EF=AD=3，
∴四边形DAEF是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）．
∴∠FDA=180°-∠DAE=30°，
∴S_·AEFD=AD·DF·sin30°=3×4×

1

2

=6．
答四边形AEFD的面积是6．