试题

△ABC是边长为4的等边三角形，在射线AB和BC上分别有动点P、Q，且AP=CQ，连接PQ交直线AC于点D，作PE⊥AC，垂足为E．
（1）如图，当点P在边AB（与点A、B不重合）上，问：
①线段PD与线段DQ之间有怎样的大小关系？试证明你的结论．
②随着点P、Q的移动，线段DE的长能否确定？若能，求出DE的长；若不能，简要说明理由；
（2）当点P在射线AB上，若设AP=x，CD=y，求：
①y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
②当x为何值时，△PCQ的面积与△ABC的面积相等．

解：（1）证明：①作PG∥BC交AC于G，DH∥AB交BQ于H，
∵△ABC是边长为4的等边三角形，
∴△DHC，△APG为等边三角形，
∵AP=CQ，
∴PG=CQ，∠PGC=∠DCQ=120°，
∵∠GPD=∠Q，
∵△PDG≌△QDC，
∴DP=DQ，
②能确定，
∵PE⊥AC，
∴AE=EG，
∵GD=DC，AB=BC=AC=4，
∴GD+EG+AE+DC=4，
∵2（GD+EG）=4，
即DE=2；

（2）①∵PD=DQ，DH∥AB，AP=x，CD=y，
∴DH=

1

2

BP，
∵AB=4，
∴BP=4-x或BP=x-4，
∴y=

1

2

（4-x）=2-

1

2

x（0＜x≤4）或y=

1

2

x-2（x＞4），
②当0＜x≤4时，无解，
当x＞4时，
∵PE⊥AC，∠A=60°AP=x，
∴PE=sin60°×x=

3

2

x，
∵AB=BC=AC=4，
∴S_△ABC=4

3

，
∵PD=DQ，
∴结合图形可知S_△PCQ=2S_△PDC=2×

y·PE

2

，
∴2×

y·PE

2

=4

3

，
∴（

1

2

x-2）×

3

2

x=4

3

，
化简得：x²-4x-16=0，
解得：x₁=2-2

5

（不符合题意，舍去）   x₂=2+2

5

，
∴x=2+2

5

，
∴当x=2+2

5

时，△PCQ的面积与△ABC的面积相等．
解：（1）证明：①作PG∥BC交AC于G，DH∥AB交BQ于H，
∵△ABC是边长为4的等边三角形，
∴△DHC，△APG为等边三角形，
∵AP=CQ，
∴PG=CQ，∠PGC=∠DCQ=120°，
∵∠GPD=∠Q，
∵△PDG≌△QDC，
∴DP=DQ，
②能确定，
∵PE⊥AC，
∴AE=EG，
∵GD=DC，AB=BC=AC=4，
∴GD+EG+AE+DC=4，
∵2（GD+EG）=4，
即DE=2；

（2）①∵PD=DQ，DH∥AB，AP=x，CD=y，
∴DH=

1

2

BP，
∵AB=4，
∴BP=4-x或BP=x-4，
∴y=

1

2

（4-x）=2-

1

2

x（0＜x≤4）或y=

1

2

x-2（x＞4），
②当0＜x≤4时，无解，
当x＞4时，
∵PE⊥AC，∠A=60°AP=x，
∴PE=sin60°×x=

3

2

x，
∵AB=BC=AC=4，
∴S_△ABC=4

3

，
∵PD=DQ，
∴结合图形可知S_△PCQ=2S_△PDC=2×

y·PE

2

，
∴2×

y·PE

2

=4

3

，
∴（

1

2

x-2）×

3

2

x=4

3

，
化简得：x²-4x-16=0，
解得：x₁=2-2

5

（不符合题意，舍去）   x₂=2+2

5

，
∴x=2+2

5

，
∴当x=2+2

5

时，△PCQ的面积与△ABC的面积相等．