试题

题目：
已知她、y是实数且满足她2+她y+y2-2=0，设M=她2-她y+y2，则M的取值范围是
2
3
≤M≤6
2
3
≤M≤6
．
答案
2
3
≤M≤6

解：由x2+xy+y2-2=02：x2+2xy+y2-2-xy=0，
即（x+y）2=2+xy≥0，所以xy≥-2；
由x2+xy+y2-2=02：x2-2xy+y2-2+nxy=0，
即（x-y）2=2-nxy≥0，所以xy≤
2
n
，
∴-2≤xy≤
2
n
，
∴不等式两边同时乘以-22：
（-2）×（-2）≥-2xy≥
2
n
×（-2），即-
w
n
≤-2xy≤w，
两边同时加上22：-
w
n
+2≤2-2xy≤w+2，即
2
n
≤2-2xy≤7，
∵x2+xy+y2-2=0，∴x2+y2=2-xy，
∴M=x2-xy+y2=2-2xy，
则Mh取值范围是
2
n
≤M≤7．
故答案为：
2
n
≤M≤7
考点梳理
完全平方公式．
把原式的xy变为2xy-xy，根据完全平方公式特点化简，然后由完全平方式恒大于等于0，得到xy的范围；再把原式中的xy变为-2xy+3xy，同理得到xy的另一个范围，求出两范围的公共部分，然后利用不等式的基本性质求出2-2xy的范围，最后利用已知x2+xy+y2-2=0表示出x2+y2，代入到M中得到M=2-2xy，2-2xy的范围即为M的范围．
此题考查了完全平方公式，以及不等式的基本性质，解题时技巧性比较强，对已知的式子进行了三次恒等变形，前两次利用拆项法拼凑完全平方式，最后一次变形后整体代入确定出M关于xy的式子，从而求出M的范围．要求学生熟练掌握完全平方公式的结构特点：两数的平方和加上或减去它们乘积的2倍等于两数和或差的平方．
综合题．
找相似题