试题

题目：
观察规律并填空（本题7分）
（1）(2+
1
2
)2=22+2+
1
22
，
(3+
1
3
)2=32+2+
1
32
，
(4+
1
4
)2=42+
2
2
+
1
42
；
（2）若(x+
1
x
)2=13，求x2+
1
x2
的值．
答案
2

解：（1）由(2+
1
2
)2=22+2+
1
22
和(3+
1
3
)2=32+2+
1
32
得：(4+
1
4
)2=42+2+
1
42
．

（2）由（1）中等式可以得到规律：(x+
1
x
)2=x2+2+
1
x2
；
∵(x+
1
x
)2=13；
∴(x+
1
x
)2=x2+2+
1
x2
=13；
解得x2+
1
x2
=13-2=11．
考点梳理
完全平方公式．
观察这几个等式可以看出：都是利用完全平方公式来展开因式的；又因为括号内这两个数互为倒数，所以结果就等于这两个数的平方和加上2．
因此：（1）由(2+
1
2
)2=22+2+
1
22
和(3+
1
3
)2=32+2+
1
32
可以看出：所以(4+
1
4
)2=42+？+
1
42
中的横线上应该填2．
（2）由（1）中三个等式可以看出：(x+
1)
x
2=x2+2+
1
x2
；根据(x+
1
x
)2=13可以求出x2+
1
x2
的值．
两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式；如果这两个数互为倒数或负倒数时，结果就是两数的平方和，再加上或减去2了．
规律型．
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