试题

题目：
已知：x+
1
x
=2，求：①x2+
1
x2
的值；②x3+
1
x3
的值；③对任意正整数n，猜想：xn+
1
xn
的值？（不须说明理由）
答案
解：（1）∵x+
1
x
=2，
∴x2+
1
x2
=（x+
1
x
）2-2，
=22-2，
=2；

（2）∵x+
1
x
=2，
∴x3+
1
x3
=（x+
1
x
）3-3（x+
1
x
），
=23-3×2，
=8-6，
=2；

（3）由（1）（2）的值都为2，可猜想（3）中xn+
1
xn
=2．
解：（1）∵x+
1
x
=2，
∴x2+
1
x2
=（x+
1
x
）2-2，
=22-2，
=2；

（2）∵x+
1
x
=2，
∴x3+
1
x3
=（x+
1
x
）3-3（x+
1
x
），
=23-3×2，
=8-6，
=2；

（3）由（1）（2）的值都为2，可猜想（3）中xn+
1
xn
=2．
考点梳理
完全平方公式．
灵活变化完全平方公式得：x2+
1
x2
=（x+
1
x
）2-2，x3+
1
x3
=（x+
1
x
）3-3（x+
1
x
），由（1）（2）的值可猜想（3）中式子的值．
本题考查了完全平方公式，当题中出现两个数的和的等式时，一般要用到它们的乘方．
规律型．
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