试题

题目：
若x+
1
x
=2，则x2+
1
x2
=
2
2
，x3+
1
x3
=
2
2
，x4+
1
x4
=
2
2
．任意正整数n，猜想：xn+
1
xn
=
2
2
．
答案
2

2

2

2

解：∵x+
1
x
=2，
∴（x+
1
x
）2=4，
∴x2+
1
x2
=2；

∵x3+
1
x3
=（x+
1
x
）（x2+
1
x2
-1），
=2×（2-1），
=2；

x4+
1
x4
=（x2+
1
x2
 ）2-2，
=4-2，
=2，
…
故xn+
1
xn
=2．
故答案为：2．
考点梳理
完全平方公式．
先根据x+
1
x
=2求出（x+
1
x
）2=4，进而可得出x2+
1
x2
的值，同理求出x3+
1
x3
及x4+
1
x4
的值，找出规律即可进行解答．
本题考查的是完全平方公式及立方和公式，能根据题意得出x2+
1
x2
=2是解答此题的关键．
规律型．
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