试题

题目：
已知：a+
1
a
=2，求an+
1
an
（n为自然数）的值．下面是小明和小亮的讨论：
（1）小明发现：取n=0时，原式=1+1=2；
（2）小亮发现：
∵a+
1
a
=2
∴(a+
1
a
)2=a2+
1
a2
+2=22=4
∴a2+
1
a2
=2，
请你参考他们的提示，完成解答．
答案
解：取n=0时，原式=1+1=2；
取n=1时，a+
1
a
=2；
取n=2时，∵a+
1
a
=2，
∴(a+
1
a
)2=a2+
1
a2
+2=22=4，
∴a2+
1
a2
=2；
取n=2时，a3+
1
a3
=（a+
1
a
）（a2-1+
1
a2
）=2；
…
故an+
1
an
=2．
解：取n=0时，原式=1+1=2；
取n=1时，a+
1
a
=2；
取n=2时，∵a+
1
a
=2，
∴(a+
1
a
)2=a2+
1
a2
+2=22=4，
∴a2+
1
a2
=2；
取n=2时，a3+
1
a3
=（a+
1
a
）（a2-1+
1
a2
）=2；
…
故an+
1
an
=2．
考点梳理
完全平方公式．
分n为奇数和n为偶数两种情况讨论即可求出an+
1
an
（n为自然数）的值．
本题主要考查完全平方公式，熟记公式的几个变形公式对解题大有帮助，注意括号内两个数互为倒数．
规律型．
找相似题