试题

题目：
已知a，b，c为实数，设A=a2-2b+
π
2
，B=b2+2c+
π
3
，C=c2-2a+
π
6
．证明：A，B，C中至少有一个值大于零．
答案
证明：由题设有A+B+C=（a2-2b+
π
2
）+（b2+2c+
π
3
）+（c2-2a+
π
6
），
=（a2-2a+1）+（b2-2b+1）+（c2+2c+1）+π-3，
=（a-1）2+（b-1）2+（c+1）2+（π-3），
∵（a-1）2≥0，（b-1）2≥0，（c+1）2≥0，π-3＞0，
∴A+B+C＞0．
若A≤0，B≤0，C≤0，则A+B+C≤0与A+B+C＞0不符，
∴A，B，C中至少有一个大于零．
证明：由题设有A+B+C=（a2-2b+
π
2
）+（b2+2c+
π
3
）+（c2-2a+
π
6
），
=（a2-2a+1）+（b2-2b+1）+（c2+2c+1）+π-3，
=（a-1）2+（b-1）2+（c+1）2+（π-3），
∵（a-1）2≥0，（b-1）2≥0，（c+1）2≥0，π-3＞0，
∴A+B+C＞0．
若A≤0，B≤0，C≤0，则A+B+C≤0与A+B+C＞0不符，
∴A，B，C中至少有一个大于零．
考点梳理
完全平方公式；非负数的性质：偶次方．
本题可利用完全平方的知识，将三者看作整体，然后再进行计算即可．
本题考查完全平方公式的应用，注意分析题中的关联条件，然后进行判断证明即可．
证明题．
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