试题

在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=1.5，DC=6，点E是腰AB上一点，且AE=

1

3

AB，∠EDC=90°，把△DEC沿EC折叠，点D恰好落在BC边上的点F处：
（1）求证：∠ECF=30°；
（2）求tan∠ABC的值．

解：（1）延长DE交CB的延长线于点G，过A作AM⊥BC于M，过D作DN⊥BC于N，交EC于O
∴EF∥DN，
∴AM=DN．
∵△DEC与△FEC关于EC成轴对称，
∴△DEC≌△FEC，
∴∠FEC=∠DEC，
∵把△DEC沿EC折叠，点D恰好落在BC边上的点F处
∴△EDC≌△EFC
∴∠FEC=∠DEC=∠DOE，∠ECD=∠ECF，DE=FE，CD=CF，
∵AD∥BC，
∴△AED∽△BEG，
∴

AD

GB

=

AE

BE

=

DE

GE

．
∵AE=

1

3

AB，
∴

AE

BE

=

1

2

.

BE

AB

=

2

3

，
∴

DE

GE

=

1

2

，
∴

EF

GE

=

1

2

，
∵∠EFG=90°，
∴∠G=30°．
∴∠GCD=60°．
∵∠ECD=∠ECF，
∴∠CEF=

1

2

∠GCD=30°，
（2）∵AD=1.5，
∴

1.5

GB

=

1

2

∴GB=3．
∵EF∥DN
∴△BEF∽△BAM，
∴

EF

AM

=

BE

AB

．
∵∠DCN=60°，
∴∠NDC=30°，
∴NC=3．DN=AM=3

3

．DE=FE=2

3

∴由勾股定理，得
GD=6

3

，GN=9．
∵EF∥DN，
∴

2 3

3 3

=

GF

9

，
∴GF=6，
∴BF=3，
∴tan∠ABC=

EF

BF

=

2 3

3

．
解：（1）延长DE交CB的延长线于点G，过A作AM⊥BC于M，过D作DN⊥BC于N，交EC于O
∴EF∥DN，
∴AM=DN．
∵△DEC与△FEC关于EC成轴对称，
∴△DEC≌△FEC，
∴∠FEC=∠DEC，
∵把△DEC沿EC折叠，点D恰好落在BC边上的点F处
∴△EDC≌△EFC
∴∠FEC=∠DEC=∠DOE，∠ECD=∠ECF，DE=FE，CD=CF，
∵AD∥BC，
∴△AED∽△BEG，
∴

AD

GB

=

AE

BE

=

DE

GE

．
∵AE=

1

3

AB，
∴

AE

BE

=

1

2

.

BE

AB

=

2

3

，
∴

DE

GE

=

1

2

，
∴

EF

GE

=

1

2

，
∵∠EFG=90°，
∴∠G=30°．
∴∠GCD=60°．
∵∠ECD=∠ECF，
∴∠CEF=

1

2

∠GCD=30°，
（2）∵AD=1.5，
∴

1.5

GB

=

1

2

∴GB=3．
∵EF∥DN
∴△BEF∽△BAM，
∴

EF

AM

=

BE

AB

．
∵∠DCN=60°，
∴∠NDC=30°，
∴NC=3．DN=AM=3

3

．DE=FE=2

3

∴由勾股定理，得
GD=6

3

，GN=9．
∵EF∥DN，
∴

2 3

3 3

=

GF

9

，
∴GF=6，
∴BF=3，
∴tan∠ABC=

EF

BF

=

2 3

3

．