试题

（2009·昌平区一模）请阅读下列材料：
问题：如图1，点A，B在直线l的同侧，在直线l上找一点P，使得AP+BP的值最小．
小明的思路是：如图2，作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B，则A′B与直线l的交点P即为所求．

请你参考小明同学的思路，探究并解决下列问题：
（1）如图3，在图2的基础上，设AA′与直线l的交点为C，过点B作BD⊥l，垂足为D．若CP=1，PD=2，AC=1，写出AP+BP的值；
（2）将（1）中的条件“AC=1”去掉，换成“BD=4-AC”，其它条件不变，写出此时AP+BP的值；
（3）请结合图形，直接写出

(2m-3)2+1

+

(8-2m)2+4

的最小值．

解：（1）在Rt△ACP中，由勾股定理得，AP=

2

，
∵△ACP≌△A′CP，△A′CP∽△BDP，
∴CP：PD=A′P：BP，解得BP=2

2

，
∴AP+BP的值为3

2

；

（2）∵△A′CP∽△BDP
∴BD：A′C=PD：CP=2：1
∴BD=4-AC=2AC
∴AC=

4

3

，BD=

8

3

由勾股定理知，AP=

5

3

，BP=

10

3

∴AP+BP的值为5；

（3）∵2m-3+8-2m=5，
∴

52+32

=

34

．
故

(2m-3)2+1

+

(8-2m)2+4

有最小值为

34

．
解：（1）在Rt△ACP中，由勾股定理得，AP=

2

，
∵△ACP≌△A′CP，△A′CP∽△BDP，
∴CP：PD=A′P：BP，解得BP=2

2

，
∴AP+BP的值为3

2

；

（2）∵△A′CP∽△BDP
∴BD：A′C=PD：CP=2：1
∴BD=4-AC=2AC
∴AC=

4

3

，BD=

8

3

由勾股定理知，AP=

5

3

，BP=

10

3

∴AP+BP的值为5；

（3）∵2m-3+8-2m=5，
∴

52+32

=

34

．
故

(2m-3)2+1

+

(8-2m)2+4

有最小值为

34

．