试题

题目：
已知实数a、b满足条件a＞0，b＞0，且a+b=4，则代数式
a2+1
+
b2+4
的最小值是
5
5
．
答案
5

青果学院解：作图如下所示，作AC⊥AB，BD⊥AB，
设AC=1，BD=2，AB=4，
在AB上取一点F，将AB分为AF和BF，
设AF=a，BF=b=4-a，
∴CF=
a2+1
，DF=
b2+4
=
(4-a)2+4
，
∴CF+DF=
a2+1
+
b2+4
，
要求CF+DF的最小值，问题转化为在AB上找到一点F，使得CF+DF最小，
过C作关于AB对称点E，使得CA=EA=1，
连DE交AB于F，由CF+DF=DE，此时CF+DF最短．
∴代数式
a2+1
+
b2+4
的最小值=（CF+DF）的最小值=DE=
32+42
=5．
故答案为：5．
考点梳理
轴对称-最短路线问题．
根据题意构造三角形，然后利用轴对称的性质求最短距离．
本题考查利用轴对称求最短路线的问题，难度较大，解题关键是将求代数式
a2+1
+
b2+4
的最小值巧妙地转化成几何问题．
计算题．
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