试题

题目：
青果学院如图，矩形ABCD中，AB=20cm，BC=10cm，若在AC、AB上各取一点M、N，使BM+MN的值最小，求这个最小值．
答案
青果学院解：如图，作点B关于直线AC的对称点B′，交AC与E，连接B′M，
过B′作B′G⊥AB于G，交AC于F，
由对称性可知，B′M+MN=BM+MN≥B′G，
当且仅当M与F、点N与G重合时，等号成立，AC=10
5
，
∵点B与点B′关于AC对称，
∴BE⊥AC，
∴S△ABC=
1
2
AC·BE=
1
2
AB·BC，得BE=4
5
，BB′=2BE=8
5
，
因∠B′BG+∠CBE=∠ACB+∠CBE=90°，则∠B′BG=∠ACB，又∠B′GB=∠ABC=90°，
得△B′GB∽△ABC，
B′G
AB
=
B′B
AC
，
B′G=
8
5
×20
10
5
=16，故BM+MN的最小值是16cm．
故答案为：16cm．
青果学院解：如图，作点B关于直线AC的对称点B′，交AC与E，连接B′M，
过B′作B′G⊥AB于G，交AC于F，
由对称性可知，B′M+MN=BM+MN≥B′G，
当且仅当M与F、点N与G重合时，等号成立，AC=10
5
，
∵点B与点B′关于AC对称，
∴BE⊥AC，
∴S△ABC=
1
2
AC·BE=
1
2
AB·BC，得BE=4
5
，BB′=2BE=8
5
，
因∠B′BG+∠CBE=∠ACB+∠CBE=90°，则∠B′BG=∠ACB，又∠B′GB=∠ABC=90°，
得△B′GB∽△ABC，
B′G
AB
=
B′B
AC
，
B′G=
8
5
×20
10
5
=16，故BM+MN的最小值是16cm．
故答案为：16cm．
考点梳理
轴对称-最短路线问题．
作点B关于直线AC的对称点B′，交AC与E，连接B′M，过B′作B′G⊥AB于G，交AC于F，再由对称性可知
B′M+MN=BM+MN≥B′G，再由等号成立条件得出AC=10
5
，再根据△ABC的面积分别求出BE、BB′的值，由相似三角形的判定定理得出△B′GB∽△ABC，再根据相似三角形的性质即可求解．
本题考查的是最短路线问题及相似三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．
数形结合．
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