试题

题目:
已知a、b是正数,且a+b=2,则
a2+1
+
b2+4
的最小值=
13
13

答案
13

青果学院解:∵a+b=2,
∴b=2-a,代入
a2+1
+
b2+4

得:
a2+1
+
(2-a)2+22

构造如下图形,如图,其中ED=2,AE=2,BD=1,AE⊥l,BD⊥l,
作出A关于直线l的对称点C,连接BC与直线l交于点P,此时AP+PB最短.
延长BD,过C作CF垂直于BC的延长线,垂足为F,
设PD=a,可得ED=2-a,
在Rt△AEP中,根据勾股定理得:
AP=
(2-a)2+22
,BP=
a2+1

a2+1
+
(2-a)2+22
=AP+BP,
当B、P、C三点共线时,因为直线l为线段AC的垂直平分线,
则AP+BP=CP+PB=BC,此时BC的长即为所求式子的最小值,
此时在Rt△CBF中,DF=EC=AE=2,故BF=BD+DF=1+2=3,CF=ED=2,
由勾股定理可求得BC=
22+(2+1)2
=
13

a2+1
+
b2+4
的最小值为
13
考点梳理
轴对称-最短路线问题.
由a+b=2,用a表示出b,将表示出的b代入所求的式子中,得到关于a的表达式,作出A关于直线l的对称点C,连接BC交直线l与点P,此时利用两点之间线段最短可得AP+PB=BC为最短,从而利用勾股定理,将表达式转化为直角三角形两斜边AP、BP的和,即BC的长,即为所求式子的最小值,故在直角三角形BCF中,由BF和CF的长,利用勾股定理求出BC即可得到结果.
此题主要考查线段公理的应用,以及构造直角三角形,用勾股定理求解的策略,勾股定理的最大贡献就是沟通“数”与“形”的关系,它的验证和运用都体现了数形结合的思想,运用勾股定理往往可以顺利解决某些具有平方特征的代数问题.本题的思路为:构造相应的图形,利用对称知识将所求的表达式转化为线段BC的长度,进而利用勾股定理来解决问题,充分体现了转化思想及数形结合思想.
数形结合.
找相似题