试题

题目:
青果学院如图,在Rt△ABC中,AB=BC=6,点E,F分别在边AB,BC上,AE=3,CF=1,P是斜边AC上的一个动点,则△PEF周长的最小值为
34
+2
10
34
+2
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答案
34
+2
10

青果学院解:如图,作点B关于AC的对称点D,连接AD,CD,则AC垂直平分BD,
又∵AB=BC,
∴BD平分AC,且AC=BD,
∴四边形ABCD是正方形.
取AD的中点E′,连接E′F,与AC交于点P.
∵E,E′关于AC对称,
∴PE=PE′,
此时PF+PE=PF+PE′=E′F,值最小.
过点F作FG⊥AD于G.
在Rt△E′FG中,∠E′GF=90°,FG=AB=6,GE′=3-1=2,
∴E′F=
FG2+GE2
=
62+22
=2
10

∵EF=
BE2+BF2
=
32+52
=
34

∴△PEF周长的最小值=EF+E'F=
34
+2
10

故答案为
34
+2
10
考点梳理
轴对称-最短路线问题.
由于△PEF的周长=EF+PF+PE,而EF为定值,所以当PF+PE取最小值时,△PEF的周长最小.为此,作点B关于AC的对称点D,连接AD,CD,取AD的中点E′,连接E′F,与AC交于点P,此时PF+PE=E′F,值最小,然后在Rt△E′FG中利用勾股定理求解即可.
本题考查了正方形的判定与性质,等腰直角三角形的性质,轴对称的性质,勾股定理,综合性较强,有一定难度,准确作出辅助线,确定P点的位置是解题的关键.
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