试题

题目:
已知∠AOB=30°,点P在∠AOB的内部,OP=6,P1与P关于OB对称,P2与P关于OA对称,则△P1OP2的周长为
18
18
;若OA上有一动点M,OB上有一动点N,则△PMN的最小周长为
6
6

答案
18

6

解:(1)∵P为∠AOB内部一点,点P关于OA、OB的对称点分别为P1、P2
∴OP=OP1=OP2=6,且∠P1OP2=2∠AOB=60°,
∴故△OP1P2是等边三角形.
∴△P1OP2的周长=3×6=18;
(2)分别作点P关于OA、OB的对称点C、D,连接CD,分别交OA、OB于点M、N,连接OP、OC、OD、PM、PN.
∵点P关于OA的对称点为C,关于OB的对称点为D,
∴PM=CM,OP=OC,∠COA=∠POA;
∵点P关于OB的对称点为D,
∴PN=DN,OP=OD,∠DOB=∠POB,青果学院
∴OC=OD=OP=6,∠COD=∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB=2∠POA+2∠POB=2∠AOB=60°,
∴△COD是等边三角形,
∴CD=OC=OD=6.
∴△PMN的周长的最小值=PM+MN+PN=CM+MN+DN≥CD=6.
故答案为:18;6.
考点梳理
轴对称-最短路线问题;轴对称的性质.
(1)根据轴对称的性质,结合等边三角形的判定求解;
(2)设点P关于OA的对称点为C,关于OB的对称点为D,当点M、N在CD上时,△PMN的周长最小.
此题考查了轴对称的性质,同时考查轴对称--最短路线问题,并综合运用了等边三角形的知识.注意掌握对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直,对应点所连的线段被对称轴垂直平分,对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等,对应的角、线段都相等.
动点型.
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