试题

题目:
青果学院已知:如图,四边形ABCD中,∠ABC=60°,AB=BC=2,对角线BD平分∠ABC,E是BC的中点,P是对角线BD上的一个动点,则PE+PC的最小值为(  )



答案
A
青果学院解:∵BA=BC=2,
∴平行四边形ABCD为菱形.
∴∠ABD=∠CBD,
∴BD是∠ABC的平分线.
作E关BD的对称点E′,
连接CE′,PE,
则PE=PE′,
此时,PE+PC=PE′+PC=CE′,
CE′即为PE+PC的最小值.
∵∠ABC=60°,
又∵BE′=BE,
∴△E′BE为正三角形,EE′=1,∠ABE=60°,
故EE′=EC,
∠EE′C=∠ECE′=30°,
∴∠BE′C=60°+30°=90°,
在Rt△BCE′中,
CE′=
2 2-1 2
=
3

故选:A.
考点梳理
轴对称-最短路线问题.
根据菱形的判定,得出平行四边形ABCD为菱形,作出E关于BD的对称点E′,转化为线段长度的问题,再根据等边三角形的性质判断出△BCE′为直角三角形,利用勾股定理即可求出CE′的长.
此题考查了轴对称---最短路径问题,内容涉及菱形的性质和判定、等边三角形的性质和判定及勾股定理,综合性较强.
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