试题

题目：
青果学院如图，等边△ABC的边长为6，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是AC边上一点．若AE=2，EM+CM的最小值为（　　）



答案
A
青果学院解：连接BE，与AD交于点G．
∵△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴点C关于AD的对应点为点B，
∴BE就是EM+CM的最小值．
∴G点就是所求点，即点G与点M重合，
取CE中点F，连接DF．
∵等边△ABC的边长为6，AE=2，
∴CE=AC-AE=6-2=4，
∴CF=EF=AE=2，
又∵AD是BC边上的中线，
∴DF是△BCE的中位线，
∴BE=2DF，BE∥DF，
又∵E为AF的中点，
∴M为AD的中点，
∴ME是△ADF的中位线，
∴DF=2ME，
∴BE=2DF=4ME，
∴BE=
4
3
BM．
在直角△BDM中，BD=
1
2
BC=3，DM=
1
2
AD=
3
3
2
，
∴BM=
BD2+DM2
=
3
2
7
，
∴BE=
4
3
×
3
2
7
=2
7
．
∵EM+CM=BE
∴EM+CM的最小值为 2
7
．
故选A．
考点梳理
轴对称-最短路线问题；等边三角形的性质．
要求EM+CM的最小值，需考虑通过作辅助线转化EM，CM的值，从而找出其最小值求解．
考查等边三角形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用．
动点型．
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