试题

题目:
如图1,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,点E在AD上.
(1)求证:BE=CE;
(2)如图2,若BE的延长线交AC于点F,且BF⊥AC,垂足为F,∠BAC=45°,原题设其它条件不变.试探索AE与BD的数量关系,并证明你的结论.
青果学院
答案
证明:(1)∵AB=AC,点D是BC的中点,
∴AD垂直平分BC,
∴BE=CE;

(2)AE=2BD.理由如下:
∵∠BAC=45°,BF⊥AC,
∴△ABF是等腰直角三角形,
∴AF=BF,
∵BF⊥AC,
∴∠CBF+∠C=90°,
∵AD垂直平分BC,
∴∠EAF+∠C=90°,BC=2BD,
∴∠CBF=∠AEF,
在△AEF和△BCF中,
∠CBF=∠AEF
  AF=BF  
∠AFE=∠BFC

∴△AEF≌△BCF(ASA),
∴AE=BC,
∴AE=2BD.
证明:(1)∵AB=AC,点D是BC的中点,
∴AD垂直平分BC,
∴BE=CE;

(2)AE=2BD.理由如下:
∵∠BAC=45°,BF⊥AC,
∴△ABF是等腰直角三角形,
∴AF=BF,
∵BF⊥AC,
∴∠CBF+∠C=90°,
∵AD垂直平分BC,
∴∠EAF+∠C=90°,BC=2BD,
∴∠CBF=∠AEF,
在△AEF和△BCF中,
∠CBF=∠AEF
  AF=BF  
∠AFE=∠BFC

∴△AEF≌△BCF(ASA),
∴AE=BC,
∴AE=2BD.
考点梳理
全等三角形的判定与性质;等腰三角形的性质.
(1)根据等腰三角形三线合一的性质可得AD垂直平分BC,再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得BE=CE;
(2)判断出△ABF是等腰直角三角形,根据等腰直角三角形的性质可得AF=BF,再根据同角的余角相等求出∠CBF=∠AEF,然后利用“角边角”证明△AEF和△BCF全等,根据全等三角形对应边相等可得AE=BC,从而得到AE=2BD.
本题考查了全等三角形的判定与性质,线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质,等腰三角形三线合一的性质,熟记性质准确确定出全等三角形是解题的关键.
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