试题

已知△ABC中，∠C是其最小的内角，过顶点B的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请探求∠ABC与∠C之间的关系为．

解：设∠ABC=y，∠C=x，过点B的直线交边AC于D．在△DBC中，
①若∠C是顶角，如图1，则∠ADB＞90°，
∠CBD=∠CDB=90°-

x

2

，∠A=180°-x-y．
此时只能有∠A=∠ABD，即180°-x-y=y-[90°-

1

2

x]
3x+4y=540°，即∠ABC=135°-

3

4

∠C；
②若∠C是底角，则有两种情况．
第一种情况：如图2，当DB=DC时，则∠DBC=x，
△ABD中，∠ADB=2x，∠ABD=y-x．
（i）由AB=AD，得2x=y-x，此时有y=3x，即∠ABC=3∠C．
（ii）由AB=BD，得180°-x-y=2x，此时3x+y=180°，即∠ABC=180°-3∠C．
（iii）由AD=BD，得180°-x-y=y-x，此时y=90°，即∠ABC=90°，∠C为小于45°的任意锐角．
（iiii）当BD=BC时，但这种情况与∠C是最小角不符，不成立．
故答案为：∠ABC=135°-

3

4

∠C或∠ABC=180°-3∠C或∠ABC=3∠C，∠ABC=90°，∠C是小于45°的任意角．