试题

题目：
青果学院（1999·山西）如图，已知正方形ABCD的边长为1，M、N分别在AB、AD边上，若△CMN为正三角形，则此正三角形的边长为
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-
2
6
-
2
．
答案
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-
2

解：设DN=x，AM=y，
在Rt△CDN中，有CD2+DN2=CN2，即1+x2=CN2；
在Rt△AMN中，有AN2+AM2=MN2，即（1-x）2+y2=MN2；
在Rt△BCM中，有BM2+BC2=CM2，即（1-y）2+1=CM2；
∵△CMN是等边三角形，
∴MN=CM=CN，
∴1+x2=（1-x）2+y2=（1-y）2+1，
解得y=
3
-1，x=2-
3
，
∴CN2=1+（2-
3
）2=8-4
3
=（
6
-
2
）2，
∴CN=
6
-
2
．
考点梳理
勾股定理；二次根式的性质与化简；正方形的性质．
先设DN=x，AM=y，利用勾股定理可分别求出等边三角形MNC的三边长，联立，解二元二次方程组，可求x、y，从而求出等边三角形MNC的边长．
本题利用了勾股定理、等边三角形的性质、解二元二次方程组等知识．
压轴题．
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