试题

观察探究：
小明同学非常细心，火柴盒在桌面上倒下，便启迪他得到很多发现．如图，火柴盒的一个侧面ABCD逆时针方向倒下后到AB′C′D′的位置，连接CC′．设AB=b，BC=a，AC=c．

（1）他在学习了因式分解后，意外地发现，代数式a²-b²表示了图中一个长方形的面积，请你把这个长方形画完整，并把它指出来；
（2）学过勾股定理之后，他又惊奇地发现，利用四边形BCC′D′的面积可以得到证明勾股定理的新方法，请你利用这个四边形的面积证明勾股定理：a²+b²=c²．

解：（1）延长C′B′交BC于E，再延长D′C′交CD的延长线于点F，
则长方形C′ECF即为所求．

（2）依题意，图中的四边形BCC′D′为直角梯形，△CC′A为等腰直角三角形，
Rt△ABC和Rt△C′D′A的形状和大小完全一样
设梯形BCC′D′的面积为S，则S=

1

2

（a+b）（a+b）=

1

2

（a²+b²）+ab
又∵S=S_Rt△CC'A+2S_Rt△ABC=

1

2

c²+2×

1

2

ab=

1

2

c²+ab
∴

1

2

（a²+b²）+ab=

1

2

c²+ab．
因此，a²+b²=c²
解：（1）延长C′B′交BC于E，再延长D′C′交CD的延长线于点F，
则长方形C′ECF即为所求．

（2）依题意，图中的四边形BCC′D′为直角梯形，△CC′A为等腰直角三角形，
Rt△ABC和Rt△C′D′A的形状和大小完全一样
设梯形BCC′D′的面积为S，则S=

1

2

（a+b）（a+b）=

1

2

（a²+b²）+ab
又∵S=S_Rt△CC'A+2S_Rt△ABC=

1

2

c²+2×

1

2

ab=

1

2

c²+ab
∴

1

2

（a²+b²）+ab=

1

2

c²+ab．
因此，a²+b²=c²