试题

如图，将在Rt△ABC绕其锐角顶点A旋转90°得到在Rt△ADE，连接BE，延长DE、BC相交于点F，则有∠BFE=90°，且四边形ACFD是一个正方形．
（1）判断△ABE的形状，并证明你的结论；
（2）用含b代数式表示四边形ABFE的面积；
（3）求证：a²+b²=c²．

（1）△ABE是等腰直角三角形，
证明：∵Rt△ABC绕其锐角顶点A旋转90°得到在Rt△ADE，
∴∠BAC=∠DAE，
∴∠BAE=∠BAC+∠CAE=∠CAE+∠DAE=90°，
又∵AB=AE，
∴△ABE是等腰直角三角形；

（2）∵四边形ABFE的面积等于正方形ACFD面积，
∴四边形ABFE的面积等于：b ²．

（3）∵S_{正方形ACFD}=S_△BAE+S_△BFE
即：b2=

1

2

c2+

1

2

（b+a）（b-a），
整理：2b²=c²+（b+a）（b-a）
∴a²+b²=c²．
（1）△ABE是等腰直角三角形，
证明：∵Rt△ABC绕其锐角顶点A旋转90°得到在Rt△ADE，
∴∠BAC=∠DAE，
∴∠BAE=∠BAC+∠CAE=∠CAE+∠DAE=90°，
又∵AB=AE，
∴△ABE是等腰直角三角形；

（2）∵四边形ABFE的面积等于正方形ACFD面积，
∴四边形ABFE的面积等于：b ²．

（3）∵S_{正方形ACFD}=S_△BAE+S_△BFE
即：b2=

1

2

c2+

1

2

（b+a）（b-a），
整理：2b²=c²+（b+a）（b-a）
∴a²+b²=c²．