试题

△ABC是等腰直角三角形，BC=AC，直角顶点C在x轴上，一锐角顶点B在y轴上．
（1）如图①若AD于垂直x轴，垂足为点D．点C坐标是（-1，0），点A的坐标是（-3，1），求点B的坐标．
（2）如图②，直角边BC在两坐标轴上滑动，若y轴恰好平分∠ABC，AC与y轴交于点D，过点A作AE⊥y轴于E，请猜想BD与AE有怎样的数量关系，并证明你的猜想．
（3）如图③，直角边BC在两坐标轴上滑动，使点A在第四象限内，过A点作AF⊥y轴于F，在滑动的过程中，两个结论①

CO-AF

OB

为定值；②

CO+AF

OB

为定值，只有一个结论成立，请你判断正确的结论加并求出定值，不必证明．

解：（1）∵点C坐标是（-1，0），点A的坐标是（-3，1）
∴AD=OC（1分）
在Rt△ADC和Rt△COB中

AD=OC AC=BC

∴Rt△ADC≌Rt△COB（HL）（2分）
∴OB=CD=2（3分）
∴点B的坐标是（0，2）（4分）

（2）猜想：AE=

1

2

BD（5分）
证法一：延长AE交BC的延长线于点F，
∵∠ABE=∠FBE，∠AEB=∠FEB=90°，BE=BE，
∴△ABE≌△FBE（ASA），
得AE=EF=

1

2

AF，
在△BCD和△ACF中，

∠CBD=∠CAF AC=BC ∠BCD=∠ACF

∴△BCD≌△ACF（ASA）
得AF=BD（7分）
∴AE=

1

2

BD（8分）

证法二：作BD的中垂线交BD于F，AB于点G，连接GD
则GB=GDFD=BF=

1

2

BD
∴∠GBD=∠GDF
∵y轴平分∠ABC，且∠ABC=45°
∴∠GBD=∠GDF=22.5°
∵∠AGD=∠GBD+∠GDF
∴∠AGD=45°
∵∠BAC=45°
∴∠AGD=∠BAC
∴DG=AD
∵∠CBD+∠CDB=∠DAE+∠ADE=90°，且∠CDB=∠ADE
∴∠DAE=∠CBD=22.5°
∴∠DAE=∠GDF
在Rt△GDF和Rt△EAD中

∠GDF=∠DAE ∠GFD=∠AED GD=AD

∴Rt△GDF≌Rt△EAD（AAS）
∴AE=DF=

1

2

BD

（3）结论

CO-AF

OB

成立（9分）

CO-AF

OB

=1（10分）
解：（1）∵点C坐标是（-1，0），点A的坐标是（-3，1）
∴AD=OC（1分）
在Rt△ADC和Rt△COB中

AD=OC AC=BC

∴Rt△ADC≌Rt△COB（HL）（2分）
∴OB=CD=2（3分）
∴点B的坐标是（0，2）（4分）

（2）猜想：AE=

1

2

BD（5分）
证法一：延长AE交BC的延长线于点F，
∵∠ABE=∠FBE，∠AEB=∠FEB=90°，BE=BE，
∴△ABE≌△FBE（ASA），
得AE=EF=

1

2

AF，
在△BCD和△ACF中，

∠CBD=∠CAF AC=BC ∠BCD=∠ACF

∴△BCD≌△ACF（ASA）
得AF=BD（7分）
∴AE=

1

2

BD（8分）

证法二：作BD的中垂线交BD于F，AB于点G，连接GD
则GB=GDFD=BF=

1

2

BD
∴∠GBD=∠GDF
∵y轴平分∠ABC，且∠ABC=45°
∴∠GBD=∠GDF=22.5°
∵∠AGD=∠GBD+∠GDF
∴∠AGD=45°
∵∠BAC=45°
∴∠AGD=∠BAC
∴DG=AD
∵∠CBD+∠CDB=∠DAE+∠ADE=90°，且∠CDB=∠ADE
∴∠DAE=∠CBD=22.5°
∴∠DAE=∠GDF
在Rt△GDF和Rt△EAD中

∠GDF=∠DAE ∠GFD=∠AED GD=AD

∴Rt△GDF≌Rt△EAD（AAS）
∴AE=DF=

1

2

BD

（3）结论

CO-AF

OB

成立（9分）

CO-AF

OB

=1（10分）